Le programme officiel
Ce chapitre fait partie de la section « Utiliser l'information chiffrée et la statistique descriptive » du programme de mathématiques de seconde générale et technologique, défini par l'arrêté du 17 janvier 2019 (BO spécial n°1 du 22 janvier 2019).
« Évolution : variation absolue, variation relative. »
« Évolutions successives, évolution réciproque : relation sur les coefficients
multiplicateurs (produit, inverse). »
« Les élèves doivent distinguer si un pourcentage exprime une proportion ou une évolution. »
- Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur taux d'évolution.
- Calculer le taux d'évolution global à partir des taux d'évolution successifs.
- Calculer un taux d'évolution réciproque.
Le taux d'évolution
1.1 · Définition
Une grandeur passe d'une valeur de départ $V_D$ (strictement positive) à une valeur d'arrivée $V_A$. Le taux d'évolution entre $V_D$ et $V_A$ est :
On l'exprime souvent en pourcentage en le multipliant par 100. C'est un nombre sans unité.
- Si $t > 0$ : augmentation (hausse).
- Si $t < 0$ : diminution (baisse).
- Si $t = 0$ : la grandeur ne change pas.
La population d'un village passe de $V_D = 8\,500$ habitants en 2018 à $V_A = 10\,400$ en 2022.
$$ t = \dfrac{10\,400 - 8\,500}{8\,500} = \dfrac{1\,900}{8\,500} \approx 0{,}2235 $$
Soit environ +22,35 %.
On ne divise jamais par la valeur d'arrivée. Toujours par la valeur de départ.
Truc mnémotechnique : « on part d'où on est » → la valeur de départ est la référence, donc au dénominateur.
Le coefficient multiplicateur
2.1 · Définition
Le coefficient multiplicateur (CM) est le nombre par lequel on multiplie $V_D$ pour obtenir $V_A$ :
- Augmentation de $p\%$ : $\mathrm{CM} = 1 + \dfrac{p}{100}$ (donc $\mathrm{CM} > 1$).
- Diminution de $p\%$ : $\mathrm{CM} = 1 - \dfrac{p}{100}$ (donc $0 < \mathrm{CM} < 1$).
| Évolution | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| + 38 % | $1 + 0{,}38 = 1{,}38$ |
| + 5 % | $1 + 0{,}05 = 1{,}05$ |
| − 45 % | $1 - 0{,}45 = 0{,}55$ |
| − 4 % | $1 - 0{,}04 = 0{,}96$ |
| × 2 (doublement) | $2$ ↔ + 100 % |
| × 3 (triplement) | $3$ ↔ + 200 % |
Un prix qui « baisse de 25 % » est multiplié par 0,75. Donc on garde les trois quarts.
De même :
- − 20 % ↔ × 0,80 (les quatre cinquièmes)
- − 50 % ↔ × 0,5 (la moitié)
- − 10 % ↔ × 0,9
- + 100 % ↔ × 2 (doublement)
Passer du taux au coefficient
Le CM vaut $0{,}84$. Quel est le taux d'évolution ?
$$t = 0{,}84 - 1 = -0{,}16$$
Soit une baisse de 16 %.
Réciproquement, une hausse de 7,5 % correspond à $\mathrm{CM} = 1 + 0{,}075 = 1{,}075$.
Les évolutions successives
4.1 · Propriété fondamentale
Si une grandeur subit $n$ évolutions successives de coefficients multiplicateurs $\mathrm{CM}_1, \mathrm{CM}_2, \dots, \mathrm{CM}_n$, alors le coefficient multiplicateur global est :
Et le taux d'évolution global :
Remarque : l'ordre des évolutions n'a pas d'importance (la multiplication est commutative).
4.2 · LE piège à éviter absolument
Le taux d'évolution global N'EST PAS égal à la somme des taux d'évolution successifs.
Exemple : +5 % suivi de +20 % n'équivaut pas à +25 % ! On calcule : $1{,}05 \times 1{,}20 = 1{,}26$ → augmentation globale de +26 %.
$\mathrm{CM} = 1{,}20 \times 1{,}20 = 1{,}44$ → + 44 % au total (et non +40 %).
$\mathrm{CM} = 0{,}90 \times 1{,}15 = 1{,}035$ → + 3,5 % (et non +5 %).
−10 % puis +20 % puis −5 % :
$$\mathrm{CM} = 0{,}90 \times 1{,}20 \times 0{,}95 = 1{,}026$$
→ + 2,6 % globalement.
4.3 · Méthode pas à pas
- Pour chaque évolution, calculer le coefficient multiplicateur ($1 + \tfrac{t}{100}$ ou $1 - \tfrac{t}{100}$).
- Multiplier tous les CM entre eux : c'est $\mathrm{CM}_{\text{global}}$.
- En déduire $t_{\text{global}} = \mathrm{CM}_{\text{global}} - 1$, puis l'exprimer en pourcentage.
- Interpréter le signe : positif = hausse, négatif = baisse.
4.4 · Cas particulier : même évolution répétée
Si la même évolution se répète $n$ fois :
$$\mathrm{CM}_{\text{global}} = 1{,}02^7 \approx 1{,}1487$$
Soit + 14,87 % environ sur 7 ans.
L'évolution réciproque
5.1 · Définition et formules
Une grandeur subit une évolution de taux $t$ (et de CM = $1+t$) qui transforme $V_D$ en $V_A$. Le taux d'évolution réciproque $t'$ est celui qui permet de passer de $V_A$ à $V_D$ (retour à la valeur de départ).
Justification : pour revenir à $V_D$, il faut que $\mathrm{CM} \times \mathrm{CM}' = 1$, donc $\mathrm{CM}' = \tfrac{1}{\mathrm{CM}}$.
Si un prix augmente de 25 %, il faut une baisse de 20 % (et non 25 %) pour revenir au prix initial.
Vérification : $1{,}25 \times 0{,}80 = 1$ ✓
5.2 · Exemples
Quelle baisse pour revenir à la valeur initiale ?
$$\mathrm{CM} = 1{,}10, \qquad \mathrm{CM}' = \dfrac{1}{1{,}10} \approx 0{,}9091$$
$$t' \approx -0{,}0909$$
Soit une baisse d'environ 9,09 %.
Quelle hausse pour revenir à la valeur initiale ?
$$\mathrm{CM} = 0{,}90, \qquad \mathrm{CM}' = \dfrac{1}{0{,}90} \approx 1{,}1111$$
$$t' \approx +0{,}1111$$
Soit une hausse d'environ 11,11 %.
5.3 · Méthode pas à pas
- Calculer le CM de l'évolution donnée : $\mathrm{CM} = 1 + t$.
- Prendre l'inverse : $\mathrm{CM}' = \dfrac{1}{\mathrm{CM}}$.
- Soustraire 1 : $t' = \mathrm{CM}' - 1$.
- Donner le résultat en % (arrondir selon la consigne, souvent à 0,01 %).
Le taux d'évolution moyen
Cette notion est hors programme strict de seconde (elle est traitée en Première), mais elle vous sera utile pour l'exercice 3 du prof. Si vous l'avez vue, voici l'idée.
Si une grandeur subit $n$ évolutions successives qui donnent globalement un coefficient $\mathrm{CM}_{\text{global}}$, le coefficient multiplicateur moyen est le coefficient $\mathrm{CM}_m$ qui, appliqué $n$ fois de suite, donnerait le même résultat :
Le taux moyen est alors $t_m = \mathrm{CM}_m - 1$.
Un capital triple en 5 ans. Taux moyen annuel ?
$$\mathrm{CM}_m = 3^{1/5} = \sqrt[5]{3} \approx 1{,}2457$$
$$t_m \approx +0{,}2457$$
Soit + 24,57 % par an en moyenne.
Pour calculer $1{,}02^7$ : taper 1.02 ^ 7
Pour calculer $\sqrt[5]{3}$ : taper 3 ^ (1/5) ou 3 ^ 0.2
Pourcentage vs point de pourcentage
Quand on compare deux quantités elles-mêmes exprimées en pourcentage (taux de chômage, taux de TVA, taux d'intérêt, CSG, parts électorales…), il faut bien distinguer :
- Variation absolue en points de pourcentage = différence simple.
- Variation relative en pourcentage = (différence) / (valeur de départ).
Le taux de chômage passe de 5 % à 7 %.
- Variation en points de pourcentage : $7 - 5 = +2$ points.
- Variation relative : $\dfrac{7-5}{5} = 0{,}40 = +40\%$.
Donc : « le chômage a augmenté de 2 points » ✓ et « le chômage a augmenté de 40 % » ✓ disent la même chose. En revanche, « le chômage a augmenté de 2 % » est incorrect.
Dès que vous voyez une variation d'une grandeur qui est déjà un pourcentage, demandez-vous : l'énoncé parle-t-il de points ou de % ? Ces deux unités donnent des valeurs très différentes !
Pourcentage d'un pourcentage
Si une partie $B$ représente $a\%$ d'un ensemble $A$, et $A$ représente $b\%$ d'un ensemble $E$, alors $B$ représente $a\% \times b\%$ de $E$, soit :
Dans une classe, 60 % des élèves sont des filles et, parmi elles, 40 % pratiquent un sport.
Proportion de « filles sportives » dans la classe : $0{,}60 \times 0{,}40 = 0{,}24 = $ 24 %.
Méthodes types adaptées à la feuille du prof
🅐 · Calculer un taux d'évolution global
(Exercices 1 et 2 du prof)
- Identifier chaque évolution successive et écrire son CM.
- Multiplier tous les CM.
- Conclure : si $\mathrm{CM} > 1$ hausse, sinon baisse, et donner le pourcentage.
🅑 · Appliquer plusieurs fois la même évolution
(Exercices 3 et 4 du prof)
Si la même évolution se répète $n$ fois : $\mathrm{CM}_{\text{global}} = \mathrm{CM}^n$.
Un appareil coûte 350 €, baisse de 5 % par an pendant 3 ans.
Prix au bout de 3 ans :
$$350 \times 0{,}95^3 = 350 \times 0{,}857375 \approx 300{,}08$$
Soit 300 € arrondi à l'unité.
🅒 · Retrouver une valeur de départ
(Exercice 5 du prof)
Connaissant la valeur d'arrivée $V_A$ et le CM global, on a :
Population sur 30 ans : −20 %, puis −10 %, puis −30 %. Population finale : 126.
$$\mathrm{CM} = 0{,}80 \times 0{,}90 \times 0{,}70 = 0{,}504$$
Population initiale :
$$V_D = \dfrac{126}{0{,}504} = 250 \text{ habitants.}$$
🅓 · Taux d'évolution réciproque
(Exercices 6, 7, 8 du prof)
Méthode standard : $\mathrm{CM}' = \tfrac{1}{\mathrm{CM}}$, puis $t' = \mathrm{CM}' - 1$.
$$\mathrm{CM} = 1{,}40, \quad \mathrm{CM}' = \dfrac{1}{1{,}40} \approx 0{,}7143$$
$$t' \approx -28{,}57\%$$
Les retards augmentent de 6 % entre novembre et décembre. Pour revenir à la valeur de novembre, il faut un taux entre décembre et janvier de :
$$t' = \dfrac{1}{1{,}06} - 1 \approx -0{,}056603$$
Soit environ − 5,66 % (arrondi à 0,01 %).
🅔 · Reconnaître le type d'exercice en 5 secondes
| Mots-clés dans l'énoncé | Type d'exercice | Outil principal |
|---|---|---|
| « puis », « ensuite », « suivie de » | Évolutions successives | Produit des CM |
| « retrouve sa valeur », « revenir », « compenser » | Évolution réciproque | $\mathrm{CM}' = \tfrac{1}{\mathrm{CM}}$ |
| « chaque année », « par an », « pendant $n$ ans » | Évolution répétée | $\mathrm{CM}^n$ |
| « passe de … à … » | Calcul direct du taux | $(V_A - V_D)/V_D$ |
| « sachant que la valeur finale est… » | Recherche valeur initiale | $V_D = V_A / \mathrm{CM}$ |
| « taux équivalent sur $n$ années », « taux moyen » | Taux moyen | $\sqrt[n]{\mathrm{CM}_{\text{global}}}$ |
Récapitulatif des formules
| Notion | Formule | À retenir |
|---|---|---|
| Taux d'évolution | $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$ | Division par la valeur de départ. |
| Coefficient multiplicateur | $\mathrm{CM} = 1 + t$ | $\mathrm{CM} > 1$ : hausse ; $0 < \mathrm{CM} < 1$ : baisse. |
| Augmenter de $p\%$ | × $\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)$ | Ex. +20 % → × 1,20. |
| Diminuer de $p\%$ | × $\left(1 - \tfrac{p}{100}\right)$ | Ex. −15 % → × 0,85. |
| Évolutions successives | $\mathrm{CM}_{\text{glob}} = \mathrm{CM}_1 \times \mathrm{CM}_2 \times \dots$ | On multiplie, on n'additionne pas. |
| Taux global | $t_{\text{glob}} = \mathrm{CM}_{\text{glob}} - 1$ | À exprimer en %. |
| Évolution répétée | $\mathrm{CM}_{\text{glob}} = \mathrm{CM}^n$ | Même évolution $n$ fois. |
| Évolution réciproque | $\mathrm{CM}' = \dfrac{1}{\mathrm{CM}}$ et $t' = \dfrac{1}{1+t} - 1$ | Ce n'est pas $-t$ ! |
| Taux moyen (bonus) | $\mathrm{CM}_m = \sqrt[n]{\mathrm{CM}_{\text{glob}}}$ | Racine $n$-ième. |
| Pourcentage de pourcentage | $p_{AB} = p_A \times p_B$ | Multiplier les proportions. |
| Point de pourcentage | $\Delta = p_2 - p_1$ (en points) | ≠ Variation relative ! |
« On ne travaille pas avec les taux :
on travaille avec les coefficients multiplicateurs. »
Les taux servent à communiquer, les CM servent à calculer.